Задача 1:

G – центр тяжести треугольника ABC, M – середина стороны BC. Точки X и Y выбрали на сторонах AB и AC так, что XY параллельно BC и точки X,Y,G лежат на одной прямой. XC и GB пересекаются в точке Q, а YB и GC – в точке P. Докажите, что треугольники MPQ и ABC подобны.

Задача 2:

На плоскости отмечено 997 точек. Каждые две из отмеченных точек соединили отрезками и середины каждого отрезка покрасили в красный цвет. Докажите, что количество красных точек на плоскости не менее 1991. Можете ли вы привести пример, когда их будет ровно 1991?

Задача 3:

a₁,a₂, … ,a_n,b₁,b₂, … ,b_n – положительные вещественные числа такие, что a₁ + a₂ +  …  + a_n = b₁ + b₂ +  …  + b_n. Докажите, что

Задача 4:

n школьников сидят вокруг учителя, который раздает леденцы. Учитель выбрал первого попавшегося ребенка и дал ему леденец, следующий леденец он дал ребенку сидящему через одного от первого по часовой стрелке, затем он пропустил еще двух школьников, и дал леденец следующему ребенку, затем он пропустил трех и так далее…Найдите все значения n при которых рано или поздно каждый ребенок получит хотябы по одному леденцу.

Задача 5:

Даны две касающиеся окружности и точка P на их общей касательной, проведенной в точке касания окружностей. Пользуясь только циркулем и линейкой постройте окружность проходящую через точку P и касающуюся данных.