Задача 1:

Найдите все функции заданные на множестве вещественных чисел, удовлетворяющие следующим трем условиям:

• [(1)] для любых вещественных x,y f(x) + f(y) + 1 ≥ f(x + y) ≥ f(x) + f(y);
• [(2)] для всех x ∈ [\,0,\,1\,), f(0) ≥ f(x);
• [(3)]  – f( – 1) = f(1) = 1.

Задача 2:

Докажите, что расстояние от ортоцентра невырожденного треугольника до центра описанной вокруг него окружности строго меньше 3R, где R – радиус описанной окружности.

Задача 3:

Найдите все натуральные n, которые можно представить в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел (n = a² + b²), таким образом, что любое простое число является делителем ab.

Задача 4:

Существует ли бесконечное множество точек на плоскости такое, что никакие три точки из него не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между ними рациональные?

Задача 5:

В таблице A записаны числа 10^k (для всех k > 0) в десятичной системе счисления, в таблице B они же записаны в двоичной, а в таблице C – в пятеричной. Докажите, что каким бы ни было число n > 1, найдется ровно одно число или в таблице B или в таблице C, в записи которого ровно n цифр.