Задача 1:

Найдите наименьшее n такое, что не существует арифметической прогрессии из 1999 вещественных чисел, ровно n членов которой целые.

Задача 2:

Последовательность a₁,a₂, …  удовлетворяет условию a_i + j ≤ a_i + a_j. Докажите, что

Задача 3:

Окружности C₁ и C₂ пересекаются в точках P и Q. Их общая касательная, ближайшая к P, касается C₁ в точке A, а C₂ – в точке B. Касательная к C₁ в точке P повторно пересекает C₂ в точке C. R – точка пересечения прямых AP и BC. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника PQR касается BP и BR.

Задача 4:

Найдите все пары целых чисел (a,b) для которых a² + 4b и b² + 4a – точные квадраты.

Решение:

Пусть a ≥ b. Тогда a² ≤ a² + 4b ≤ a² + 4a < a² + 4a + 4 = (a + 2)². Следовательно, либо b = 0, либо a² + 4b = (a + 1)². Второго варианта быть не может, поскольку числа a² + 4b и (a + 1)² разной четности. Тогда b = 0, a = m².

Задача 5:

На плоскости отмечено 2n + 1 точка, никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре из которых не лежат на одной окружности. Окружность называется хорошей, если на ней лежит 3 отмеченных точки, и количество отмеченных точек, лежащих внутри окружности равно количеству точек, лежащих вне ее. Докажите, что четность количества хороших окружностей совпадает с четностью числа n.

Решение:

Докажем, что для любой пары точек существует нечетное количество хороших окружностей, содержащих эти точки.