Задача 1:

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Точка D – середина дуги BC, не содержащей точки A. Точки E и F симметричны точке D относительно прямой BC и центра описанной окружности O соответственно. Точка K – середина отрезка EA. Докажите, что

a) середины сторон треугольника ABC и точка K лежат на одной окружности

b) Прямая, проходящая через точку K и середину отрезка BC перпендикулярна прямой AF.

Задача 2:

Пусть p – простое число такое, что p – 2 делится на 3. Пусть S – множество чисел, представимых в виде y² – x³ – 1, где x и y – целые числа, 0 ≤ x,y ≤ p – 1. Докажите, что не менее p – 1 элементов множества S делятся на p.

Задача 3:

Пусть ABC – остроугольный треугольник, M, N и P – основания перпендикуляров, опущенных из центра масс G треугольника ABC к сторонам AB, BC и CA соответственно. Докажите, что

Задача 4:

Пусть x₀ = 0 ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤  …  ≤ x_n ≤  …  – неубывающая последовательность неотрицательных целых чисел таких, что для любого целого неотрицательного числа k количество членов не превосходящих k конечно, обозначим это количество через y_k. Докажите, что для любых натуральных чисел m и n выполняется неравенство