Задача 1:

Натуральное число n называется бразильским, если существует такое натуральное r < n – 1, что в системе счисления с основанием r все цифры числа n одинаковые. Докажите, что число 1994 бразильское, а 1993 – нет.

Решение:

1994 = 2 • 997, следовательно в системе счисления с основанием 996 оно записывается как 22. Число 1993 простое, поэтому, если бы оно было бразильским, то записывалось бы в системе счисления с основанием r одними единицами. Поскольку r < 1992, количество единиц в записи не меньше 3, следовательно r² + r + 1 ≤ 1993, откуда r явно меньше 50. Заметим, что 1992 = 2³ • 3 • 83 делится на r, поскольку записывается как 11 … 10 Полученное частное оканчивается на 1, следовательно, взаимно просто с r. Таким образом, r может принимать значения 8 и 3. Нетрудно проверить, что ни первое ни второе значения не подходят.

Задача 2:

ABCD – описанный четырехугольник. Окружность с центром на стороне AB касается остальных сторон четырехугольника. a) Докажите, что AB = AD + BC. b) Выразите максимально возможную площадь такого четурехугольника как функцию от AB и CD.

Задача 3:

В каждой клетке квадрата n × n находится по лампочке. Разрешается менять состояние любой лампочки, а так же всех лампочек находящихся в той же строчке и в том же столбце. Докажите, что такими действиями из состояния, когда все лампочки выключены можно получить ситуацию когда все лампочки включены и выразите минимальное количество операций необходимых для этого от n.

Задача 4:

Внутри окружности описанной около треугольника ABC выбрали точку P. Прямые AP, BP и CP вторично пересекают окружность в точках X, Y и Z. Определите, для каких точек P треугольник XYZ равносторонний.

Задача 5:

Для любых натуральных чисел n и r определите минимальное k такое, что можно выбрать r k-элементных подмножеств 0,1, … n – 1 таких, что любое число от 0 до n – 1 можно представить в виде суммы r чисел из различных выбранных множеств.

Задача 6:

Первоначально записано число 1. За одну операцию разрешается записать число равное сумме каких-то двух уже записанных чисел (возможно одного и того же). Докажите, что любое число не превосходящее 2^1\,000\,000 можно получить менее чем за 1\,100\,000 операций.