Задача 1:

Обозначим через S_n сумму первых n простых чисел. Докажите, что между S_n и S_n + 1 найдется по крайней мере один точный квадрат.

Задача 2:

На окружности взяли пять точек P,P₁,P₂,P₃,P₄. Пусть d_ij – расстояние от точки P до прямой P_iP_j. Докажите, что d₁₂d₃₄ = d₁₃d₂₄.

Задача 3:

Квадратный трехчлен f(x) = ax² + bx + c удовлетворяет неравенству |f(x)| ≤ 1 при всех x ∈ [0,1]. Найдите максимальное значение выражения |a| + |b| + |c|.

Задача 4:

Докажите, что ребра выпуклого многогранника все грани которого треугольники можно покрасить в два цвета так, что между любыми двумя вершинами можно будет пройти как только по ребрам одного цвета так и только по ребрам второго цвета.