Задача 1:

Найдите x,y,z удовлетворяющих системе уравнений:

При каких a и b x,y и z – различные положительные числа?

Задача 2:

a,b,c – стороны треугольника площади S. Докажите, что и определите, когда достигается равенство?

Задача 3:

Решите уравнение  cos ⁿx –  sin ⁿx = 1.

Задача 4:

Внутри треугольника ABC взяли точку P. Прямые PA, PB и PC пересекают стороны треугольника в точках D,E и F соответственно. Докажите, что по крайней мере одно из отношений AP/PD,BP/PE,CP/PF не превосходит 2, и по крайней мере одно не больше 2.

Задача 5:

Постройте треугольник ABC по сторонам AC = b, AB = c и углу  ∠ AMB =  α , где M – середина BC. Докажите, что построение возможно тогда и только тогда, когда справедливо неравенство b tg ( α /2) ≤ c < b и определите, когда достигается равенство.

Задача 6:

Даны точки A,B,C не лежащие на одной прямой, и плоскость  α  не параллельная плоскости ABC. В плоскости  α  взяли точки A′,B′ и C′. A″,B″,C″ – серидины отрезков AA′,BB′ и CC′ соответственно. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников A″B″C″.