Задача 1:

Найдите наименьшее натуральное число, последняя цифра которого – 6, и которое увеличивается в 4 раза от переноса этой цифры в начало.

Задача 2:

Найдите все вещественные x для которых .

Задача 3:

По периметру граней ABCD и B′C′CB куба ABCDA′B′C′D′ с одинаковой скоростью двигаются точки X и Y. Точка X начинает двигаться из A по направлению к B и одновременно с ней точка Y начинает двигаться из B′ к C′. Найдите геометрическое место середин отрезков XY.

Задача 4:

Найдите все вещественные решения уравнения  cos ²x +  cos ²2x +  cos ²3x = 1.

Задача 5:

Даны три различные точки A,B,C лежащие на окружности K. Постройте точку D на K такую, чтобы четырехугольник ABCD был бы описанным.

Задача 6:

Докажите, что расстояние между центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник и центром описанной вокруг него окружности равно , где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

Задача 7:

Докажите, что тетраэдр является правильным тогда и только тогда, когда существует пять сфер, каждая из которых касается всех шести ребер тетраэдра или их продолжений.