Задача 1: [Чехо-Словакия] Площадь плоского выпуклого четырехугольника равна 32 см², а сумма длин двух противоположных сторон и одной диагонали равна 16 см. Указать все значения, которые может принимать длина другой диагонали.

Задача 2: [Финляндия] Пусть P(x) = x² – 2, P_k(x) = P₁(P_k – 1(x)) (k = 2,3, … ). Доказать, что для любого натурального n все корни уравнения P_n(x) = x вещественны и различны.

Задача 3: [Нидерланды] Прямоугольная коробка может быть полностью наполнена единичными кубами (ребра кубов параллельны ребрам коробки). Если же заполнить коробку кубами объема 2 с ребрами, параллельными ребрам коробки, то максимальное число таких кубов заполнит лишь 40 объема коробки. Указать внутренние размеры всех коробок, для которых это имеет место ().

Задача 4: [США] Найти наибольшее значение, которое может принять произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 1976.

Задача 5: [Нидерланды] В системе p уравнений с q = 2p неизвестными

коэффициенты a_ij ∈  – 1,0,1. Доказать, что существует решение (x₁,x₂, … ,x_q) этой системы такое, что все x_j (1 ≤ j ≤ q) – целые числа, по модулю меньшие q и при этом не все равны нулю.

Задача 6: [Великобритания] Последовательность u_n определяется следующим образом:

Доказать, что при n ≥ 1 .