Задача 1:

Внутри данного квадрата ABCD построены равносторонние треугольники ABK, BCL, CDM, DAN. Доказать, что середины четырех отрезков KL, LM, MN, NK вместе с серединами восьми отрезков AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN являются вершинами правильного двенадцатиугольника.

Задача 2:

В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи последовательных членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати последовательных членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности.

Задача 3:

Пусть n – заданное натуральное число, большее 2, и пусть V_n – множество чисел вида 1 + kn, где k = 1, 2, …. Число m ∈ V_n будем называть неприводимым в V_n, если не существует чисел p,q ∈ V_n таких, что pq = m. Доказать, что существует число r ∈ V_n, которое можно разложить на неприводимые в V_n множители более чем одним способом.

Задача 4:

Пусть a, b, A, B – данные действительные числа. Рассмотрим f(x) = 1 – a •  cos x – b •  sin x – A •  cos 2x – B •  sin 2x. Доказать, что если f(x) ≥ 0 для любого действительного x, то a² + b² ≤ 2, а A² + B² ≤ 1.

Задача 5:

Пусть a и b – натуральные числа. При делении a² + b² на a + b получается частное q и остаток r. Найти все пары (a,b), для которых q² + r = 1977.

Задача 6:

Пусть f(n) – функция, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая значения в том же множестве. Доказать, что если для каждого n выполняется неравенство f(n + 1) > f(f(n)), то для каждого n имеет место равенство f(n) = n.