Задача 1:

Последние три цифры десятичной записи чисел 1978ⁿ и 1978^m совпадают. Найдите такие m и n (m < n) с минимальной суммой.

Задача 2:

Пусть P – данная точка внутри данной сферы и A,B,C – произвольные три точки этой сферы такие, что отрезки PA, PB, PC взаимно перпендикулярны. Пусть Q – вершина параллелепипеда, определенного отрезками PA, PB и PC, диагонально противоположная к P. Определите геометрическое место точек Q.

Задача 3:

Множество всех натуральных чисел является объединением двух непересекающихся подмножеств f(1),f(2), … ,f(n), … , g(1),g(2), … ,g(n), … , где f(1) < f(2) <  …  < f(n) <  … , g(1) < g(2) <  …  < g(n) <  …  и g(n) = f(f(n)) + 1 для всех n ≥ 1. Определите f(240).

Задача 4: Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника ABC, а также равных сторон AB и AC этого треугольника в точках P, Q соответственно. Докажите, что середина отрезка PQ является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Задача 5:

a_k – последовательность, состоящая из различных натуральных чисел. Докажите, что

Задача 6:

Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества из 1978 фамилий, занумерованных числами 1,2, … ,1978. Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его страны или удвоенному номеру некоторого члена из его страны.