Задача 1: [Великобритания] Из точки P внутри данного треугольника ABC опускаются перпендикуляры PA₁, PB₁, PC₁ на прямые BC, CA и AB. Для каких точек P внутри  ∠ ABC величина

принимает наименьшее значение?

Задача 2: [ФРГ] Даны натуральные числа n и r, 1 ≤ r ≤ n. Рассмотрим всевозможные подмножества множества 1,2, … ,n, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1)/(r + 1). (Например, при n = 3, r = 2 получаем три подмножества 1,2, 1,3, 2,3 и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2)/3 = 4/3).

Задача 3: [Нидерланды] Найдите наибольшее значение выражения m² + n² для всевозможных пар (m,n) натуральных чисел таких, что 1 ≤ m ≤ 1981, 1 ≤ n ≤ 1981 и |n² – mn – m²| = 1.

Задача 4: [Бельгия] а) Для каких n ≥ 3 существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих n чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n – 1 чисел?

б) При каких n ≥ 3 существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающее указанным свойством?

Задача 5: [СССР] Через точку O, лежащую внутри данного треугольника, проведены три окружности равных радиусов, каждая из которых лежит внутри треугольника и касается двух его сторон. Докажите, что точка O, центр окружности, описанной около треугольника и центр окружности, вписанной в него, лежат на одной прямой.

Задача 6: [Франция] Про функцию f, определенную на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (x,y), известно следующее:

1) f(0,y) = y + 1

2) f(x + 1,0) = f(x,1)

3) f(x + 1,y + 1) = f(x,f(x + 1,y)) для каждой пары x ≥ 0, y ≥ 0. Найдите значение f(4,1981).