Задача 1: [ФРГ] Пусть x, y, z – неотрицательные действительные числа такие, что x + y + z = 1. Докажите, что

Задача 2: [Нидерланды] Укажите какую-либо пару натуральных чисел (a,b) такую, что

1) число ab(a + b) не делится на 7

2) (a + b)⁷ – a⁷ – b⁷ делится на 7⁷.

Ответ обосновать.

Задача 3: [Румыния] На плоскости даны две различные точки O и A. Для каждой точки X этой плоскости, отличной от точки O, обозначим через a(X) величину угла AOX, выраженную в радианах (0 ≤ a(x) < 2 π ), где угол a(x) отсчитывается против часовой стрелки от луча OA, а через C(X) – окружность с центром O и радиусом OX + a(X)/OX.

Пусть задан конечный набор цветов, и каждая точка плоскости окрашена в один из них. Докажите, что существует точка Y такая, что a(Y) > 0 и на окружности C(Y) имеется хотя бы одна точка того же цвета, что и точка Y.

Задача 4: [Румыния] Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD прямая CD касается окружности с диаметром AB. Докажите, что прямая AB касается окружности с диаметром CD тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

Задача 5: [Монголия] Пусть d – сумма всех диагоналей, а p – периметр плоского выпуклого n-угольника (n > 3). Докажите, что

Задача 6: [Польша] Пусть a, b, c, d – нечетные целые числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1) 0 < a < b < c < d;

2) ad = bc;

3) a + d = 2^k, b + c = 2^m для некоторых целых чисел m и k. Докажите, что a = 1.