Задача 1:

Пусть d – положительное целое число, отличное от 2, 5 и 13. Докажите, что во множестве 2,5,13,d можно найти два различных числа a и b так, что число ab – 1 не является квадратом целого числа.

Задача 2:

На плоскости даны треугольник A₁A₂A₃ и точка P₀. Положим A_s = A_s – 3 для любого целого s ≥ 4. Строим последовательность точек P₀,P₁,P₂, …  так, что точка P_k + 1 есть образ точки P_k при повороте вокруг точки A_k + 1 на угол 120 по часовой стрелке (k = 0,1, … ). Докажите, что если P₁₉₈₆ = P₀ , то треугольник A₁A₂A₃ равносторонний.

Задача 3:

Каждой вершине пятиугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Если трем последовательным вершинам соответствуют числа x,y,z и y < 0, то разрешается следующая операция: числа x,y,z заменяются на x + y, – y,y + z. Такие операции последовательно совершаются до тех пор, пока хотя бы одно из пяти чисел отрицательно. Определите, обязательно ли этот процесс завершится за конечное число шагов.

Задача 4:

Пусть A и B – соседние вершины правильного n-угольника (n ≥ 5) с центром O. Треугольник XYZ, равный треугольнику OAB, вначале совпадает с ним, потом движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на границе, а точка X – внутри данного n-угольника. Какую фигуру опишет точка X, когда точки Y и Z вместе совершат полный оборот по границе n-угольника?

Задача 5:

Найдите все функции f(x), определенные на множестве неотрицательных действительных чисел, принимающие значения в том же множестве и удовлетворяющие следующим условиям:

1) f(x • f(y)) • f(y) = f(x + y) для всех неотрицательных x,y;

2) f(2) = 0;

3) f(x) отлична от 0 для всех 0 ≤ x < 2.

Задача 6:

Пусть M – произвольное конечное множество целочисленных точек на координатной плоскости. Всегда ли можно окрасить некоторые точки множества M в белый цвет, а остальные – в красный так, чтобы для каждой прямой L, параллельной любой из координатных осей, абсолютная величина разности между числом белых и красных точек на L не превосходила бы единицы? Ответ обосновать.