Задача 1:

Пусть f(x) = xⁿ + 5x^n – 1 + 3, где n > 1 – целое число. Доказать, что f(x) не может быть представлен в виде произведения двух многочленов, каждый из которых степени не меньше 1 и все коэффициенты которых – целые числа.

Задача 2:

Дан остроугольный треугольник ABC и точка D внутри него, такая что  ∠ ADB =  ∠ ACB + 90   и AC • BD = AD • BC.

а) Вычислить значение отношения ;

б) Доказать, что касательные, проведенные в точке C к окружности, описанной около треугольников ACD и BCD, перпендикулярны.

Задача 3:

На бесконечной шахматной доске ведется игра. В начале n² фишек занимают поле n × n, по одной фишке в каждой клетке. Ход заключается в том, что какая-то фишка перепрыгивает в горизонтальном или вертикальном направлении через одну соседнюю занятую клетку на свободную клетку за ней. При этом фишка, через которую перепрыгнули, снимается с доски. Найти все n, для которых можно оставить на доске всего одну фишку.

Задача 4:

Для трех точек P,Q,R на плоскости через m(PQR) обозначим наименьшую из длин высот треугольника PQR. Пусть на плоскости даны точки A,B,C,D . Доказать m(ABC) ≤ m(ABD) + m(ADC) + m(DBC).

Задача 5:

Существует ли функция такая, что

Задача 6:

Пусть n > 1 – целое число. По окружности расположено n ламп L₀, … ,L_n – 1. Каждая лампа может быть в состоянии «включена» или «выключена». Последовательность шагов S₀,S₁, … ,S_i, …  определена следующим образом. Шаг S_j влияет только на состояние лампы L_j (и не влияет на состояние остальных ламп) так что, если L_j – 1 включена, то S_j изменяет состояние лампы L_j (то есть, если L_j была включена, то станет выключена и наоборот). Если L_j – 1 выключена, то S_j ничего не меняет. Лампы пронумерованы по модулю n (т.е. L_n = L₀ и т.д.)

Первоначально все лампы включены. Доказать, что

а) Существует натуральное M(n) такое, что после M(n) все лампы будут включены.

б) Если n – число вида 2^k, то после n² – 1 шагов все лампы будут включены.

в) Если n – число вида 2^k + 1, то после n² – n + 1 шагов все лампы будут включены.