Задача 1:

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны, а противоположные стороны AB и DC не параллельны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и DC пересекаются в точке P, лежащей внутри ABCD. Доказать, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда площади треугольников ABP и CDP равны.

Задача 2:

На соревновании выступило a участников, которые были оценены b судьями, где b нечетное число, b ≥ 3. Каждый судья выставил каждому из участников одну из двух оценок «удовлетворительно» или «неудовлетворительно». Число k таково, что для любых судей найдется не более чем k участников, получивших у этих двух судей совпадающие оценки. Доказать, что

Задача 3:

Пусть d(n) – количество всех различных натуральных делителей числа n (включая 1 и само n). Найти все натуральные числа k такие, что при некотором n.

Задача 4:

Найти все пары (a;b) натуральных чисел такие, что a²b + a + b делится на ab² + b + 7.

Задача 5:

Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Обозначим через K, L, M точки, в которых эта окружность касается сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой MK, пересекает прямые LM и LK в точках R и S соответственно. Доказать, что угол RIS – острый.

Задача 6:

Рассмотрим все функции f, определенные на множестве всех натуральных чисел, принимающие натуральные значения и удовлетворяющие условию f(t²f(s)) = s(f(t))² для любых натуральных s и t. Найти наименьшее возможное значение f(1998).