Задача 1:

Внутри равностороннего треугольника со стороной a выбрали точку O. Прямые AO, BO и CO пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что OA₁ + OB₁ + OC₁ < a.

Задача 2:

Найдите все n при которых существует такое множество S из n точек плоскости с целыми координатами, обладающее следующим свойством: для любой точки (p,q) содержащейся в S ровно две из точек (p – 1,q), (p + 1,q), (p,q – 1), (p,q + 1) также содержатся в S.

Задача 3:

Квадратный лист бумаги ABCD согнули так, что точка D перешла в точку D′ на стороне BC. Отрезок A′D′ (A′ – точка, в которую перешла точка A) пересекает AB в точке E. Докажите, что периметр треугольника EBD′ равен половине периметра квадрата.

Задача 4:

Найдите все натуральные числа n < 200 для которых n² + (n + 1)² – точный квадрат.