Задача 1: В треугольнике одна сторона в 3 раза меньше суммы двух других. Докажите, что противолежащий ей угол — наименьший угол треугольника.

(А.К.~Толпыго)

Задача 2: На тарелке лежит 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

(В.А.~Дольников)

Задача 3: В выпуклом шестиугольнике AC₁BA₁CB₁ стороны попарно равны: AB₁ = AC₁, BC₁ = BA₁, CA₁ = CB₁ и  ∠ A +  ∠ B +  ∠ C =  ∠ A₁ +  ∠ B₁ +  ∠ C₁. Доказать, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

(В.В.~Произволов)

Задача 4: По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют N поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B, C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Леша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах.

Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Леши, а в остальных случаях Леша — раньше или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?

(А.К.~Ковальджи, В.~Палт)

Задача 5: 2n спортсменов дважды провели круговой турнир (в круговом турнире каждый встречается с каждым, за победу начисляется одно очко, за ничью — 1/2, за поражение — 0). Сумма очков каждого изменилась не менее, чем на n.

Доказать, что она у всех изменилась ровно на n.

(Б.Р.~Френкин)

Задача 6: Пусть 1 + x + x² +  …  + x^n – 1 = F(x)G(x), где F и G — многочлены, коэффициенты которых — нули и единицы (n > 1). Докажите, что один из многочленов F(x), G(x) представим в виде (1 + x + x² +  • s + x^k – 1)T(x), где T — также многочлен с коэффициентами 0 и 1, а k > 1.

(М.Н.~Вялый, В.А.~Сендеров)