Задача 1:

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021³⁷⁷ – 1. Не опечатка ли это?

(С. Маркелов)

Решение: =1

Ответ: конечно, это опечатка. Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность 23021³⁷⁷ – 1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

На самом деле наибольшим известным сегодня простым числом является число 2^3021377 – 1. Простые числа вида 2ⁿ – 1 называют числами Мерсенна (по имени математика 17 века М. Мерсенна, который их исследовал). Можно доказать, что при составном n число 2ⁿ – 1 составное. Поэтому числа Мерсенна соответствуют простым n. Например, 2² – 1 = 3, 2⁵ – 1 = 31, 2⁷ – 1 = 127 – простые числа. Однако нельзя утверждать, что каждому простому числу p соответствует простое число 2^p – 1. Например, 2¹¹ – 1 – составное число. Поиском чисел Мерсенна занимались многие выдающиеся математики, например, Эйлер доказал, что число 2³¹ – 1 простое. Конечно или бесконечно множество чисел Мерсенна – вопрос, на который пока нет ответа.

Задача 2:

Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10, а после каждого промаха уменьшается на 10. Могло ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек?

(И. Ященко)

Решение: =2

Ответ: да, могло, если он один раз попал и три раза промахнулся. Решение проще всего найти, если разложить 8019 на множители: 8019 = 93 • 11. После удачного выстрела количество денег умножается на 1,1, а после неудачного – на 0,9, и 100 • 1,1 • 0,93 = 80,19.

Задача 3:

Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, а на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)

(T. Голенищева-Кутузова, В. Гуровиц, П. Кожевников, И. Ященко)

Решение: =3

Ответ: да, могло. Например, если в исходном проекте было 5 подъездов, 4 этажа и на каждом этаже по одной квартире: 5 • 4 = 20, 3 • 7 = 21, 1 • 10 = 10.

Задача 4:

В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок). Покажите на рисунке все точки, в которые можно вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.

(А. Шень)

Решение: =4

Ответ приведён на рисунке.

Задача 5:

Отметьте на доске 8 × 8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

(А. Спивак)

Решение: =5

Пример приведён на рисунке.

Будем рассуждать, используя шахматную доску. Заметим, что белые клетки граничат по стороне только с чёрными и наоборот. Поэтому сначала отметим несколько белых клеток, так чтобы у каждой чёрной клетки был ровно один отмеченный сосед (рисунок). Затем отметим несколько чёрных клеток, так чтобы и у каждой белой клетки появился отмеченный сосед (рисунок), при этом у чёрных клеток новых отмеченных соседей не появится.