Задача 1:

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

(А. Митягин)

Решение: =1

Ответ: да, можно. Расставим их на одной прямой так, чтобы расстояние между первым и вторым футболистами было 2 м, между вторым и третьим – 3 м, между третьим и четвертым – 1 м (футболисты назывались в порядке их расположения на прямой).

Задача 2:

В некоторой стране суммарная зарплата 10 самых высокооплачиваемых работников составляет 90 зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10 работников составляет не более 11 всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

(М. Вялый)

Решение: =2

Ответ: да, может. Допустим, что в каждом регионе все получают одинаковую зарплату и есть регион, в котором живут те самые 10 работников, которые получают 90 всей зарплаты.

Задача 3:

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A («угол падения» равен «углу отражения»). Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника BCM, лежит на прямой AM.

(А. Заславский)

Решение: =3

Перпендикуляры к сторонам угла, восставленные в точках B и C, пересекаются в точке M′, диаметрально противоположной M. Из равенства углов падения и отражения следует, что M′ – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. С другой стороны, точка M лежит на пересечении биссектрис углов B′BC и BCC′ (см. рис.), следовательно, равноудалена от прямых AB и AC. Поэтому M также лежит на биссектрисе угла BAC. Значит, весь диаметр MM′, включая точку O, лежит на биссектрисе AM угла BAC.

Задача 4:

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

(В. Клепцын)

Решение: =4

Ответ: нет, нельзя. Заметим, что если в некоторый момент количество камней в каждой кучке делится на нечётное число a, то и во всех получаемых разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на a. После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки из 100 камней и 5 камней (общий делитель 5), из 56 камней и 49 камней (общий делитель 7), из 51 камня и 54 камней (общий делитель 3).

Задача 5:

Натуральное число N в 999 … 99 (k девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения k и для каждого из них приведите пример такого числа.

(Г. Гальперин)

Решение: =5

Ответ: такое число существует для любого k: N_k = 9k • (10^k – 1). Пусть 9k = s₁ … s_t0 … 0 (s_t не равно 0, нулей на конце может и не быть). Проверим, что сумма цифр числа N_k равна 9_k. Запишем разность чисел 9k • 10^k и 9k, учитывая, что 9k < 10^k при любом k:

В нижней строчке записано число N_k. Легко видеть, что сумма его цифр равна s₁ +  …  + s_t – 1 + 9 +  …  + 9 + (9 + 1) – s₁ –  …  – s_t = 9k. в записи левой части k девяток)

Задача 6:

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – 1/2 очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.

а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?

б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

(А. Толпыго)

Решение: =6

Ответ: а), б) нет, не могут. Обозначим сумму очков, набранных участником A, через S_A, а его коэффициент силы – через F_A. Рассмотрим сумму . Если подставить в неё определение F_A и раскрыть скобки, то получится сумма чисел вида  ± S_AS_B, где шахматисты A и B сыграли не вничью. Каждое из таких слагаемых входит один раз со знаком « + » и один раз со знаком « – ». Поэтому вся сумма равна 0. Значит, знаки коэффициентов силы у всех участников не могут быть одинаковыми.