Задача 1: Фокусник угадывает поочередно масть всех карт в колоде из 52 карт. После каждого ответа ему сообщают, угадал он или ошибся. Докажите, что существует стратегия, позволяющая угадать не менее 13 карт, и нет стратегии, позволяющей гарантированно угадать больше.

Задача 2: Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим через A₁, B₁, C₁ проекции точки O на прямые BC, CA, AB соответственно. Через A₂, B₂, C₂ обозначим вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Задача 3: Докажите, что неравенство |x! – y^y| ≤ n при любом натуральном n имеет лишь конечное число решений в натуральных числах x, y.

Задача 4: Найдите для каждого натурального n ≥ 1 все функции (не обязательно непрерывные), которые удовлетворяют уравнению f(x + y) = fⁿ(x) + fⁿ(y).

Задача 5: Дано k последовательностей s₁, …, s_k длины n, состоящих из  ± 1. Докажите, что можно найти такую последовательность s, состоящуюю из  ± 1, что количество последовательностей, принадлежащих одновременно обоим множествам s₁,  … ,s_k и ss₁, … ,ss_k не превосходит . (Произведением последовательностей x_i и y_i называется последовательность x_iy_i.)

Задача 6:

Прямые разбивают верхнюю полуплоскость на многоугольники, диаметр каждого из которых меньше 1, и все стороны и площадь больше 0.000001. Докажите, что один из них можно выдвинуть вниз, не смещая остальные.