Задача 1:
(7–9)
В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что
длина стороны BC больше половины длины стороны AB.
Решение: Воспользуемся свойством, что в треугольнике против большего угла
лежит большая сторона (см. Т19). Имеем BC > AC. Предположим,
BC ≤ ½AB. Тогда AC < ½AB. Сложив два
последних неравенства, получаем BC + AC < AB, что противоречит
неравенству треугольника. Полученное противоречие
показывает, что предположение было неверным, следовательно,
BC > ½AB.
Задача 2:
(7–9)
Имеется 68 монет, причем известно, что любые две монеты
различаются по весу. Как за 100 взвешиваний на двухчашечных
весах без гирь найти самую тяжелую и самую легкую монеты?
Решение: Разобьем монеты на пары и в каждой паре сравним веса монет.
Мы использовали 34 взвешивания.
Отделим 34 более легкие монеты из каждой пары и 34 более тяжелые.
Очевидно, что самую легкую монету нужно искать среди монет первой
группы, а самую тяжелую — среди монет второй группы. В «легкой"
группе будем класть на каждую чашу весов по одной монете в любом
порядке, отбрасывая каждый раз ту монету, которая была тяжелее.
После 33 взвешиваний мы отбросим 33 монеты, тем самым, останется
одна, самая легкая. Аналогично, за 33 взвешивания мы определим
самую тяжелую монету из «тяжелой" кучи. Таким образом, за 100
взвешиваний мы найдем самую легкую и самую тяжелую монеты.
Подумайте, можно ли обойтись меньшим числом взвешиваний.
Задача 3:
(7–9)
В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной
прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным
карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости
существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных
прямых.
Решение: Выберем одну из данных точек. Если через нее проходит не менее
11 красных прямых, то все доказано. Пусть теперь через выбранную
точку проходит не более 10 красных прямых. На этих прямых лежат,
не считая выбранной, 100 отмеченных точек. Согласно принципу
Дирихле, существует прямая l, содержащая не менее 10 из них.
Значит, вместе с выбранной точкой, прямая l содержит по крайней
мере 11 отмеченных точек. Рассмотрим теперь любую точку, не
лежащую на l. Она соединена красными прямыми со всеми
отмеченными точками, лежащими на прямой l. Значит, через нее
проходит не менее 11 красных прямых.
