Задача 1:

Найдите все тройки натуральных чисел (x,y,z) такие, что y – простое число, z не делится ни на y, ни на 3 и x³ – y³ = z².

Задача 2:

Выпуклый четырехугольник площади S вписан в окружность, центр которой лежит внутри четырехугольника. Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого – проекции точку пересечения диагоналей на стороны исходного четырехугольника не превосходит S/2.

Задача 3:

Соревнование оценивается 8 судьями, каждый из которых ставит учаснику  +  или  – . Известно, что для любых двух участников двое судей поставили  + , двое –  +  первому и  –  второму, двое –  –  первому и  +  второму, и двое обоим поставили  – . Определите максимально возможное количество участников.

Задача 4:

Решите уравнение в целых числах: x³ = y³ + 2y² + 1.

Задача 5:

На сторонах AC и AB треугольника ABC выбрали точки B₁ и C₁ соответственно. D – точка пересечения BB₁ и CC₁. Докажите, что четырехугольник AB₁DC₁ вписанный тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в треугольники ABD и ACD касаются.

Задача 6:

Равносторонний треугольник со стороной 1 покрыт 6 кругами радиуса r. Докажите, что .