Задача 1:

a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃. Докажите, что для любых p₁,p₂,p₃ не равных нулю и любого натурального n

Задача 2:

Определите, какое из следующих чисел или больше при всех c ≥ 1.

Решение:

Задача 3:

Докажите, что , где a и b – катеты, а c – гипотенуза прямоугольного треугольника. Когда достигается равенство?

Задача 4:

Внутри равностороннего треугольника ABC выбрали точку P. Докажите, что , где D,E и F – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника.

Задача 5:

Докажите, что длина биссектрисы CD равна , где a = BC, а b = AC.

Задача 6:

Найдите сумму 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! +  …  + n • n!

Решение:

k • k! = (k + 1)! – k!. откуда 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! +  …  + n • n! = 2! – 1! + 3! – 2! + 4! – 3! +  …  + (n + 1)! – n! = (n + 1)! – 1

Задача 7:

Докажите, что уравнение a² + b² – 8c = 6 не имеет решений в целых числах.

Решение:

При делении на 8 квадраты натуральных чисел дают остатки 0, 1 или 4. Тогда, сумма двух квадратов (следовательно и a² + b² – 8c) не может давать остатка 6 при делении на 8.

Задача 8:

Строго монотонная функция f, определенная на множестве натуральных чисел и принимающая натуральные значения удовлетворяет следующим условиям: f(2) = 2 и f(mn) = f(m)f(n) для всех m и n. Докажите, что f(n) = n.

Решение:

Заметим, что f(2ⁿ) = 2ⁿ для любого n. Пусть 2ⁿ < k ≤ 2^n + 1. Если f(k) > k, то и f(2^n + 1) > 2^n + 1, а если f(k) < k, то и f(2ⁿ) < 2ⁿ.

Задача 9:

Докажите, что длина наименьшей стороны четырехугольника вписанного в окружность радиуса 1 не превосходит .

Задача 10:

Из точки P на гипотенузезе равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетом 1 ( ∠ C = 90) опустили перпендикуляры на стороны PQ и PR. Докажите, что по крайней мере одна площадь S_APQ, S_BPR и S_PQCR не менее 2/9.