Задача 1:

На хорде BD выбрали точку E такую, что DE = 3, а EB = 5. OC – радиус, проходящий через точку E (O – центр окружности), CE = 1. Найдите радиус.

Решение:

Степень точки E равна DE • EB = 15 с одной стороны, и CE(R + R – CE) = 2R – 1, с другой, откуда R = 8.

Задача 2:

Сумма положительных чисел x и y равна 1. Докажите, что (1 + 1/x)(1 + 1/y) ≥ 9

Решение:

Очевидно, что xy ≤ 1/4. Но тогда 1 + (x + y + 1)/xy = 1 + 2/xy ≥ 9.

Задача 3:

В четырехугольнике ABCD AD = BC и  ∠ ADC >  ∠ BDC. Докажите, что AC > BD.

Задача 4:

Найдите все вещественные a при которых трехчлены x² + ax + 1 и x² + x + a имеют по крайней мере один общий корень.

Задача 5:

Докажите, что многочлен с целыми коэффициентами значения которого в 0 и 1 нечетны не имеет целых корней.

Задача 6:

Докажите, что n² + 2n + 12 не делится на 121 при всех целых n.

Решение:

Если число n² + 2n + 12 = (n + 1)² + 11 делится на 11, то оно дает остаток 11 при делении на 121.

Задача 7:

Найдите все пятизначные числа, которые уменьшаются в целое число раз от вычеркивания средней цифры.

Задача 8:

Из точки P внутри правильного пятиугольника опустили перпендикуляры на его стороны (или их продолжения). Докажите, что суммарная длина этих перпендикуляров не зависит от выбора точки P и выразите ее через радиус окружности описанной вокруг пятиугольника.

Задача 9:

На плоскости на расстоянии 2a стоят два флага высоты h и k. Найдите геометрическое место точек на плоскости из которых верхушки флагов видны под одним и тем же углом.

Задача 10:

Каждый из n человек знает новость. Каждый раз, когда A звонит B, A рассказывает B все известные ему новости, в то время как B не рассказывает A ничего. Определите минимальное количество звонков необходимое дл того, чтобы все n человек обменялись всеми новостями.