Задача 1:

Три единичные окружности касаются друг друга. Найдите радиус окружности касающейс всех трех.

Задача 2:

a₁,a₂, … ,a_n – неотрицательные вещественные числа. M – сумма их попарных произведений. Докажите, что квадрат по крайней мере одного из чисел a_i не превосходит 2M/n(n – 1).

Задача 3:

a) Докажите, что число 10201 составное в любой системе счислени с основанием больше 2.b) Докажите, что число 10101 составное в любой системе счисления.

Решение:

a) b) Пусть x – самая большая цифра в данной системе счисления. Тогда .

Задача 4:

Постройте четырехугольник ABCD по длинам четырех сторон, если известно, что AB\|CD,а BC и DA не пересекаются.

Задача 5:

Докажите, что уравнение x³ + 11³ = y³ не имеет решений в натуральных числах.

Решение:

y³ – x³ = (y – x)(y² + yx + x²), откуда y – x делит 11³. Если y – x = 1, то y² + yx + x² = 3x² + 3x + 1 ≠ 11³. Если же y – x делится на 11, то y³ > x³ + 11³.

Задача 6:

a и b – различные вещественные числа. Докажите, что существуют такие целые числа m и n, что am + bn > 0, а bm + an < 0.

Задача 7:

a) Докажите, что корни уравнения x = (x² + 1)/198 находятс между 1/198 и 197,99494949 … b) Используя a) докажите, что ;c) Верно ли, что ?

Задача 8:

В предвыборной кампании участвовало несколько партий, которые в сумме пообещали p обещаний. Известно, что у любых двух партий по крайней мере по одному обещанию совпало и никакие две партии не пообещали одного и того же. Докажите, что количество партий не больше 2^p – 1.

Задача 9:

Прямые l₁ и l₂ соответственно параллельны прямым l₃ и l₄. Найдите геометрическое место точек сумма расстояний от которых до этих прямых постоянна.

Задача 10:

Найдите геометрическую прогрессию максимальной длины все члены которой – целые числа из промежутка от 100 до 1000.