Задача 1:

(i) Решите систему неравенств и x < 0.(ii) Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенствам 4x + 13 < 0 и x² + 3x > 16.(iii) Найдите рациональное число между 11/64 и 6/13.(iv) Представьте 100000 в виде произведения двух целых чисел ни одно из которых не делится на 10.(v) Вычислите: 1/ ㏒ ₂36 + 1/ ㏒ ₃36.

Задача 2:

Решите уравнение |x + 3| – |x – 1| = x + 1.

Задача 3:

Докажите, что если p и p + 2 – простые числа большие 3, то p + 1 делитс на 6.

Задача 4:

В выпуклом девятиугольнике P₀P₁ … P₈ провели диагонали (см. рис.), которыми он разбился на 7 треугольников. Сколькими способами можно перенумеровать эти треугольники числами от 1 до 7 так, чтобы P_i были бы вершинами i-х треугольников?

Задача 5:

. Докажите, что n + h(1) + h(2) +  …  + h(n – 1) = nh(n).

Задача 6:

A и B – точки на окружности не лежащие на одной прямой с ее центром. XY – произвольный диаметр. Найдите геометрическое место точек P – точек пересечения прямых AX и BY.

Задача 7:

Заметим, что 1/1 = 1/2 + 1/2; 1/2 = 1/3 + 1/6; 1/3 = 1/4 + 1/12; 1/4 = 1/5 + 1/20. Найдите закономерность и докажите ее. Также, докажите, что для любого n существуют числа i и j такие, что