Задача 1:

Веса четырех гирь образуют геометрическую прогрессию. Как найти самую тяжелую из них за два взвешивания на чашечных весах?

Задача 2:

a₀ = 1, a₁ = 2 и для любого n ≥ 1 n(n + 1)a_n + 1 = n(n – 1)a_n – (n – 2)a_n – 1. Найдите значение суммы:

Задача 3:

В шахматном турнире в один круг участвовало два семиклассника и несколько восьмиклассников. Семиклассники получили на двоих 8 очков, в то время как все восьмиклассники получили очков поровну. Сколько восьмиклассников могло участвовать в турнире? Найдите все возможные варианты. (в шахматах за победу дают 1, за ничью – 1/2, за проигрыш – 0 очков).

Задача 4:

На диаметре AB окружности зафиксировали точку C, Q – произвольная точка окружности, P – точка на прямой QC такая, что . Найдите геометрическое место точек P. (???!!!???)

Задача 5:

Докажите, что натуральное число n равно сумме не менее чем двух последовательных натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно не является степенью 2.

Решение:

Пусть n – сумма натуральных чисел от k + 1 до m (k < m – 1), тогда

то есть 2n = (m – k)(m + k + 1). Очевидно, что числа m – k и m + k + 1 разной четности, то есть 2n имеет нечетные делители (нетривиальные, поскольку m – k > 1). Значит, 2n = 2x, где x – нечетное число, большее 1. Далее, если 2 > x, то m – k = x и m + k + 1 = 2. Нетрудно убедиться, что система имеет решение. Аналогично поступаем в случае 2 < x.

Задача 6: A, B, C, D – точки в пространстве такие, что  ∠ ABC =  ∠ BCD =  ∠ CDA =  ∠ DAB =  π /2. Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости.

Решение:

Очевидно, что точка D лежит в плоскости, перпендикулярной прямой BC ( ∠ BCD =  π /2), аналогично, D лежит в плоскости, перпендикулярной AB, то есть лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ABC. Пусть D′ – точка пересечения этой прямой с плоскостью ABC. Поскольку  ∠ CDA =  π /2, по теореме Пифагора AC² = CD² + AD². С другой стороны, поскольку DD′ ⊥ ABC, DC² = DD′² + D′C², DA² = DD′² + D′A². Заметим, что  ∠ CD′A =  π /2, следовательно AC² = AD′² + CD′², откуда D′ = D.

Задача 7:

P(x,y) – многочлен от двух переменных, такой, что P(x,y) = P(y,x) для всех x и y. Известно, что P(x,y) делится на (x – y). Докажите, что P(x,y) делится на (x – y)².

Задача 8:

Стороны и диагонали правильного 9-угольника покрасили в два цвета – синий и красный. Известно, что у любого треугольника, вершины которого совпадают с вершинами 9-угольника, по крайней мере одна сторона – красная. Докажите, что можно найти 4 вершины таких, что все стороны и диагонали получившегося четырехугольника будут красными.