Задача 1:

f(x) = x² + x. Докажите, что уравнение 4f(a) = f(b) не имеет натуральных решений.

Решение:

Допустим, что 4a(a + 1) = b(b + 1), тогда . Допустим, что , тогда b ≥ 2a + 1 и b + 1 ≥ 2(a + 1), следовательно и искомое произведение больше 4. Если же , то b + 1 ≤ 2a + 1 < 2a + 2 и .

Задача 2:

Точка A находится внутри круга с центром O. Найдите все точки P на окружности такие, что угол OPA максимальный.

Решение:

Рассмотрим окружность, описанную вокруг треугольника OPA. Максимальному значению угла OPA будет соответствовать минимальный радиус окружности (теорема синусов), что достигается в том случае, когда окружность описанная около треугольника касается исходной. В таком случае OP – диаметр, следовательно точка P определяетс исходя из того, что угол OAP – прямой.

Задача 3:

Найдите наименьшее основание системы счисления в которой число 777 является точной четвертой степенью.

Решение:

777_n = 7(n² + n + 1) = m⁴. Поскольку число 7 – простое, m должно делиться на 7, следовательно n² + n + 1 ≥ 7³, а поскольку 18² + 18 + 1 = 7³, то минимальное основание такой системы счисления – 18.

Задача 4:

Все коэффициенты произведения двух многочленов с целыми коэффициентами четные, но не все из них делятся на 4. Докажите, что все коэффициенты одного из двух перемноженных многочленов четны, и по крайней мере один из коэффициентов второго нечетен.

Решение:

Очевидно, что не все коэффициенты многочленов четны. если же у обоих многочленов есть нечетные коэффициенты, и a_n,b_m – самые младшие нечетные коэффициенты (при xⁿ и x^m), то коэффициент при x^n + m в произведении будет нечетным.

Задача 5:

Через точку P у основания конуса провели наикратчайшую линию соединяющую P с собой. Найдите наименьшее расстояние от этой лини до вершины конуса, если радиус основания равен 1, а боковая сторона 3?

Решение:

Нарисуем развертку конуса так, чтобы точка P находилась с краю разреза. Проведенная линия – отрезок, соединяющий два образа P на развертке, его длина – a…

Задача 6:

0 < u < 1. Определим последовательность u₁ = 1 + u, . Докажите, что u_n > 1 при всех n.

Задача 7:

Город имеет форму прямоугольника m × n. Докажите, что количество способов пройти из северо-восточного угла города в юго-западный не проходя ни по какому перекрестку дважды не более чем 2^mn.