Задача 1:

A₁A₂A₃A₄ – выпуклый четырехугольник, O – произвольная точка плоскости. Построили точки B₁,B₂,B₃,B₄ такие,что (A₅ = A₁). Докажите, что площадь четырехугольника B₁B₂B₃B₄ в два раза больше площади A₁A₂A₃A₄.

Решение:

Достаточно заметить, что площадь треугольника OB_iB_i + 1 равна площади треугольника A_iA_i + 1A_i + 2.

Задача 2:

a,b,c – корни уравнения x³ – x² – x – 1 = 0. Докажите, что a,b и c – различны, и число

целое.

Задача 3:

Определите наименьшее количество точек, которое можно выбрать в так, чтобы любая точка находилась на иррациональном расстоянии по крайней мере от одной выбранной точки.

Задача 4:

Докажите, что количество перестановок из n элементов не имеющих неподвижных точек отличается от количества перестановок имеющих ровно одну неподвижную точку на 1.

Задача 5:

На продолжениях высот тетраэдра ABCD взяли точки A′,B′,C′,D′ такие, что они лежат вне тетраэдра и AA′ = k/h_a, BB′ = k/h_b, CC′ = k/h_c, DD′ = k/h_d, где k – произвольное число, h_a – длина высоты опущенной из вершины A. Докажите, что центры тетраэдров ABCD и A′B′C′D′ совпадают.