Задача 1:

Докажите, что сумма 1984 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

Решение:

Сумма чисел от n + 1 до n + 1984 равна ½((n + 1984)(n + 1985) – n(n + 1)) = 992(2n + 1985), что делится на 32, но не делится на 64

Задача 2:

В какое наименьшее количество цветов нужно раскрасить n ключей так, чтобы не путать их между собой, если все n ключей находятся одном кольце?

Задача 3:

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, ни одна цифра которых не равна 0, и которые делятся на сумму своих цифр.

Решение:

Число, записанное при помощи 3ⁿ единиц делится на 3ⁿ.

Задача 4:

Площадь остроугольного треугольника равна 1. Докажите, что внутри треугольника найдется точка такая, что расстояние от нее до каждой вершины не более .

Решение:

Докажем, что радиус окружности, описанной вокруг данного треугольника не больше . Среди треугольников, вписанных в данную окружность максимальную площадь имеет равносторонний треугольник, площадь которого – , следовательно среди треугольников единичной площади максимальный радиус описанной окружности имеет равносторонний треугольник и дл него он равен .

Задача 5:

Дано 7 вещественных чисел. Докажите, что среди них найдутся два числа x и y такие, что

.

Решение:

Заметим, что , но среди арктангенсов 7 чисел по крайней мере два отличаются не более чем на .