Задача 1:

Определите количество пар натуральных чисел x,y с x ≤ y для которых (x,y) = 5!, а [x,y] = 50! ((x,y) – НОД, а [x,y] – НОК чисел x и y).

Решение:

Заметим, что решениями этой системы являются пары чисел:

где либо и  β _p = 0, либо наоборот. Таким образом, количество решений равно 2¹⁵.

Задача 2:

Отрезок [0,50] полностью покрыт отрезками длины 1. Докажите, что среди них можно выбрать несколько непересекающихся суммарной длины не менее 25.

Задача 3:

Докажите, что

Задача 4:

Внутри параллелограмма ABCD взяли точку O такую, что  ∠ AOB +  ∠ COD = 180. Докажите, что  ∠ OBC =  ∠ ODC.

Задача 5:

Запишите сумму

в виде , где p и q – многочлены с целыми коэффициентами.