Задача 1:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC прямой угол находится при вершине C. Центры квадратов, построенных на сторонах AB, AC и BC треугольника и расположенных вне этого треугольника, находятся соответственно в точках D, E и F. Доказать, что площадь треугольника DEF равна площади квадрата, построенного на стороне AC.

Задача 2:

Нечетное 1995-значное число делится на 5 и на всякое число, составленное из двух рядом стоящих цифр этого числа, делится на одно из чисел 17 и 23. Найти первую цифру этого числа.

Задача 3:

В парке две прямолинейные дорожки, пересекающиеся под прямым углом, и часто используемое собаками дерево, расположенное в 80 м от одной дорожки и в 270 м от другой. От одной дорожки к другой пролегает прямолинейна собачья тропинка, на которой находится и упомянутое дерево. Найти длину этой тропинки, если известно, что она кратчайшая из всех возможных.

Задача 4:

Концы отрезков, исходящих из точки A( – 2,0), расположены на окружности с уравнением x² + y² = 16. На какой кривой расположены середины этих отрезков? Найти уравнение этой кривой.

Задача 5:

В арифметической прогрессии a₁ = 1,a₂, … ,a_n, …  сумма первых 2n членов равна сумме следующих n членов. Найти сумму первых n + 2 членов этой прогрессии.

Задача 6:

В стене коридора замка имеется 1995 закрытых дверей. Один за другим 1995 сторожей начинают двигаться с начала коридора, причем первый сторож открывает все двери, второй изменяет положение каждой второй двери, третий" — каждой третьей двери и т.,д. Сколько дверей будут открыты после прохождения всех сторожей?