Задача 1: Доказать, что при любых целых положительных числах x и y
выполняется неравенство xxyy ≥ xyyx.
Задача 2: Дана трапеция, три стороны которой равны между собой. Известно, что
окружность, диаметром которой является большее основание трапеции, проходит
через середины ее боковых сторон. Найти величины углов трапеции.
Задача 3: Числа 1992,1993,1994, … ,2000 размещаются в клетках таблицы
3 × 3 так, что образуется «магический квадрат» (т.,е. каждое число
встречается ровно в одной клетке таблицы и суммы чисел, стоящих в каждой
строке, в каждом столбце и на каждой диагонали, равны). Доказать, что в
центральной клетке таблицы стоит число 1996. Какие числа могут быть в
угловых клетках таблицы?
Задача 4: Доказать, что число 1n + 2n + … + 15n делится на 480 при любом
нечетном числе n ≥ 5.
Задача 5: На плоскости расположено n треугольников так, что у любых трех из
них найдется общая вершина и никакие четыре из них не имеют общей вершины.
Найти наибольшее возможное значение числа n.
