Задача 1:

Пусть p – фиксированное простое число. Найти все пары положительных целых чисел (x,y), удовлетворяющие уравнению p(x – y) = xy.

Задача 2:

При каких положительных вещественных числах x выражение

принимает наименьшее значение?

Задача 3:

Равносторонний треугольник поворачивают вокруг его центра на угол 30. Найти площадь общей части исходного и полученного в результате поворота треугольника, если длина стороны треугольника равна 1.

Задача 4:

Доказать, что для любого простого числа p > 5 найдетс положительное число n такое, что последние три цифры в десятичной записи числа pⁿ равны 001.

Задача 5:

В пространстве расположены n (не обязательно правильных) тетраэдров так, что у любых двух из них найдутся две общие вершины и никакие три из этих тетраэдров не имеют двух общих вершин. Найти наибольшее возможное значение числа n.