Задача 1: В окружности  Γ  с центром в точке O провели отличную от диаметра хорду AB. Точка M – середина AB. Касательная к окружности  Γ ₁, построенной на OM как на диаметре пересекает  Γ  в точке P. Пусть T – точка ее касания с  Γ ₁. Докажите, что PA² + PB² = 4PT².

Задача 2: Числа, a, b и  – рациональные. Докажите, что числа и также рациональные.

Задача 3: a,p,q,r,s – целые числа, притом, s не делится на 5, а pa³ + qa² + ra + s делится на 5. Докажите, что существует такое натуральное число b, что sb³ + rb² + qb + p делится на 5.

Задача 4: Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности радиуса 1, притом AB • BC • CD • DA ≥ 4. Докажите, что ABCD – квадрат.

Задача 5: Корни уравнения x² – (a + b + c)x + (ac + bc + ca) = 0 комплексны и имеют вид  α  ± i β , притом  α  > 0. Докажите, что числа a, b и c положительные, а из отрезков длины , , можно составить треугольник.

Задача 6: Из набора 0,0,1,1,2,2, … ,n – 1,n – 1 выбирают n чисел таких, что их среднее арифметическое A_n – целое. Найдите минимальное значение A_n в зависимости от n.