Задача 1:

В классе n² учеников. Каждую неделю они участвуют в соревновании, для которого их учитель разделяет на n команд по n учеников в каждой. Если это возможно, учитель разбивает учеников на команды таким способом, чтобы любые двое, однажды игравшие в одной команде, были бы в разных командах во все последующее время. Докажите, что по крайней мере после n + 2 недель какие-то два ученика по крайней мере дважды будут в одной команде.

Задача 2:

Найдите все такие целые a, для которых уравнение x² + axy + y² = 1 имеет бесконечно много целочисленных решений.

Задача 3:

Точки A,X,D лежат на одной прямой, притом X находится между A и D. B – некоторая точка плоскости такая, что  ∠ ABX больше 120. На отрезке BX взяли точку C. Докажите, что

Задача 4:

Для каждого целого k пусть X_k обозначает точку с координатами (k,0). В некоторых точках X_k стоят фишки (возможно несколько в одной точке). За ход разрешается из любой точки X_j, где находится более одной фишки, взять 2 фишки и поместить одну из них на X_j – 1, другую на X_j + 1. В точке X₀ лежит 2n + 1 фишка. Докажите, что вне зависимости от того как ходить через n(n + 1)(2n + 1)/6 ходов игра закончиться тем, что останется по одной фишке в каждой из точек X _– n, … ,X_n.

Задача 5:

Найдите все вещественнозначные функции f удовлетворяющие соотношению xf(x) – yf(y) = (x – y)f(x + y) для любых вещественных x и y

Задача 6:

Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство nⁿ ≤ (n!)² ≤ ((n + 1)(n + 2)/6)ⁿ.

Задача 7:

a,b,c – комплексные числа такие, что все корни многочлена x³ + ax² + bx + c по модулю равны 1. Докажите, что тогда все корни многочлена x³ + |a|x² + |b|x + |c| также по модулю равны 1.

Задача 8:

Пусть S – единичный квадрат на плоскости (0 ≤ x,y ≤ 1). Для каждого t такого, что 0 < t < 1 через C_t обозначим множество точек из S лежащих над отрезком соединяющим точки (t,0) и (0,1 – t) или на нем. Докажите, что всем C_t принадлежат те и только те точки S, которые лежат над графиком кривой или на нем.

Задача 9:

С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник ABC по трем точкам P, Q и R таким, что P – середина BC, Q лежит на стороне AC и |CQ|/|QA| = 2, R лежит на AB и |AR|/|RB| = 2.

Задача 10:

Для каждого натурального n = p₁p₂p₃p₄, где p_i различные простые числа, выпишем все 16 делителей n в порядке возрастания: 1 = d₁ < d₂ < d₃ <  • s < d₁₅ < d₁₆ = n. Докажите, что если n < 1995, то d₉ – d₈ ≠ 22.