Задача 1:

Для каждого натурального n через f(n) обозначим наибольший общий делитель n! + 1 и (n + 1)!. Найдите чему равно f(n).

Задача 2:

Для каждого натурального n через S(n) обозначим сумму цифр n в десятичной системе счисления. Докажите, что для любого n S(2n) ≤ 2S(n) ≤ 10S(2n). Докажите также, что существует такое n, что S(n) = 1996S(3n).

Задача 3:

Пусть K = [0,1] и f – функция из K в множество вещественных чисел, удовлетворяющая следующим трем свойствам:

• [(1)] f(1) = 1;
• [(2)] f(x) ≥ 0 для любого x из K;
• [(3)] Если x,y и x + y из K, то f(x + y) ≥ f(x) + f(y).

Докажите, что f(x) ≤ 2x для всех x из K.

Задача 4:

Точка F – середина стороны BC треугольника ABC. На сторонах AB и AC внешним образом построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABD и ACE с прямыми углами D и E. Докажите, что треугольник FDE – равнобедренный и прямоугольный.

Задача 5:

Придумайте способ как разрезать квадрат на не менее чем пять частей из которых можно было бы сложить три попарно различных квадрата.

Задача 6:

Последовательность чисел Фибоначчи F₀,F₁,F₂, …  определяется следующим образом: Докажите, что

• [(1)] Утверждение «F_n + k – F_n делится на 10 при любом натуральном n» справедливо при k = 60 и не справедливо при k < 60.
• [(2)] Утверждение «F_n + t – F_n делится на 100 при любом натуральном n» справедливо при t = 300 и не справедливо при t < 300.

Задача 7:

Докажите, что при всех натуральных n

Задача 8:

p – простое число, a и n – натуральные числа. Докажите, что если 2^p + 3^p = aⁿ, то n = 1.

Задача 9:

ABC – остроугольный треугольник. D,E,F – основани высот опущенных на стороны BC, CA и AB соответственно. P, Q и R – основания перпендикуляров опущенных из точек A, B, C на прямые EF, FD и DE соответственно. Докажите, что прямые AP, BQ и CR пересекаются в одной точке.

Задача 10:

Имеется прямоугольная доска 5 × 9 клеток. Двое играют на ней в следующую игру:Первоначально на доске расположено несколько фишек, притом на каждой клетке стоит не более одной фишки. Ход заключается в перемещении всех фишек по следующим правилам:

• [(1)] фишку можно передвинуть на клетку, соседнюю с ней по вертикали или горизонтали;
• [(2)] если фишка была передвинута по горизонтали, то во врем следующего хода ее можно передвинуть только по вертикали, и наоборот, если фишка была передвинута по вертикали, то в следующий ход ее можно двигать только в горизонтальном направлении;
• [(3)] после окончания хода (то есть после того как все фишки будут передвинуты) ни на какой клетке доски не должно стоять двух или более фишек.

Игра заканчивается если невозможно сделать ход. Докажите, что если первоначально на доске находится 33 фишки, то рано или поздно игра закончится. Докажите также, что можно так расставить 32 фишки, что игра может длиться бесконечно.