Задача 1:

Найдите все вещественные x, удовлетворяющие неравенству

Задача 2:

Докажите, что существует число Фибоначчи, которое делится на 1000.

Задача 3:

В треугольнике ABC проведены высота AD, биссектриса BE и медиана CF. Докажите, что эти отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда a²(a – c) = (b² – c²)(a + c), где a,b,c – длины сторон BC, AC и AB соответственно.

Задача 4:

Докажите, что квадрат 100 × 100 с вырезанным из центра квадратом 2 × 2 можно разрезать на прямоугольники 1 × 3, а если квадрат 2 × 2 был вырезан из угла доски, то остаток разрезать на такие прямоугольники невозвможно.

Задача 5:

Последовательность u_n строится следующим образом: u₀ = 0, u₁ = 1, а u_n + 1 – наименьшее натуральное число, большее u_n, которое не образующет арифметической прогрессии ни с какими двум элементами u₀,u₁, … ,u_n. Найдите u₁₀₀.

Задача 6:

Решите систему уравнений:

Задача 7:

Мультипликативная функция f удовлетворяет условию f(p + q) = f(p) + f(q) для простых p и q. Докажите, что f(2) = 2, f(3) = 3 и f(1999) = 1999.

Задача 8:

a,b,c,d – положительные числа с суммой 1. Докажите, что

притом равенство достигается только при a = b = c = d = 1/4.

Задача 9:

Найдите все натуральные числа m равные четвертой степени количества своих натуральных делителей.

Задача 10:

ABCDEF – выпуклый шестиугольник, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA и  ∠ ABC +  ∠ CDE +  ∠ EFA = 360. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на FB, BD и DF соответственно, пересекаются в одной точке.