Задача 1: Решите уравнение в натуральных числах: 2ⁿ = a! + b! + c!

Задача 2: В треугольнике ABC длины сторон BC, CA и AB равны a, b и c соответственно, точки D – середина AC, E – середина AB. Докажите, что медиана BD перпендикулярна CE если и только если b² + c² = 5a²

Задача 3: Докажите, что если некоторое простое число p представимо в виде x⁵ – y⁵ для некоторых целых x и y, то

где v – некоторое нечётное целое число.

Задача 4: Докажите, что

при всех натуральных n.

Задача 5: Пусть a и b – вещественные числа такие, что ab > 0. Докажите, что

В каком случае достигается равенство?

Докажите также, что при всех вещественных a и b

и определите, когда достигается равенство в этом случае.

Задача 6: Найдите наименьшее натуральное число a такое, что 55ⁿ + a • 32ⁿ делится на 2001 при некотором нечётном n.

Задача 7: Три замкнутых в кольца нити расположены концентрично, как показано на рисунке. На каждой нити надеты 20 бусины, из которых 10 чёрных и 10 белых. На каждом нити позиции бусин помечены числами от 1 до 20, начиная с низу против часовой стрелки.

Будем говорить, что на позиции i есть совпадение, если все три бусины на позиции i одного цвета. Разрешается перемещать бусины вдоль нитей. Докажите, что можно добиться конфигурации, при которой будет не менее 5 совпадений.

Задача 8: На высоте AD остроугольного треугольника ABC выбрали точку P. Прямые BP и CP пересекают AC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что AD – биссектриса угла EDF.

Задача 9: Найдите все неотрицательные вещественные числа x, для которых значение выражения

является целым числом.

Задача 10: Найдите все такие функции , что f(x + f(y)) = f(x) + y при всех натуральных x и y.