Задача 1:

Конечное множество точек плоскости обладает тем свойством, что площадь треугольника с вершинами в данном множестве меньше 1. Докажите, что все множество можно поместить в треугольник площади меньше 4.

Задача 2:

Для данного натурального m найлите все тройки (x,y,n) натуральных чисел такие, что m и n взаимно просты и (x² + y²)^m = (xy)ⁿ.

Решение:

Заметим, что простые делители x и y совпадают. Рассмотрим один из них – p. Пусть k и l – степени, в которых p входит в разложение x и y на простые множители. Покажем, что k = l. Если k < l, то в разложении левой части на простые множители p входит в степени 2km, правой части – в степени n(k + l), следовательно m > n. С другой стороны, по неравенству о среднем (x² + y²)^m ≥ (2xy)^m и m < n. Следовательно, x = y и уравнение принимает вид 2^mx^2m = x²ⁿ, откуда имеем, что при нечетном m уравнение не имеет решений. Если m – четное, что x = y = 2^m/2, n = m + 1.

Задача 3:

Около треугольника ABC описали окружность. Точки P, Q и R – середины дуг BC, CA, AB соответственно. Прямые AP, BQ, и CR пересекают BC, CA и AB в точках L, M и N соответственно. Докажите, что

Для каких треугольников достигается равенство?

Задача 4:

Докажите, что количество разбиений числа n на m различных слагаемых равно количеству разбиений n – ½m(m + 1) на не более чем m слагаемых.

Задача 5:

Найдите вероятность того, что три случайно выбранные на окружности точки лежат на одной полуокружности.

Задача 6:

Докажите, что любое натуральное число большее 1 можно представить в виде суммы нескольких не делящихся друг на друга слагаемых не имеющих простых делителей отличных от 2 и 3.

Решение:

Докажем по индукции. Числа 2 и 3 можно представить в таком виде. Допустим, что все числа меньше n также представимы в виде суммы не делящихся друг на друга слагаемых. Если n четное, то домножим представление для n/2 на 2. Очевидно, что полученное представление удовлетворяет условию. Для нечетного n пусть 3^m – максимальная степень 3 не превосходящая n. Тогда n – 3^m – четное число. В представлении n – 3^m все слагаемые четные, притом ни одно из них не делится на 3^m (иначе, если в разложении имеется слагаемое 23^m +  β  с  α  > 0, то n ≤ 23^m +  β  + 3^m ≤ 3^m + 1 и 3^m – не максимальная степень 3, не превосходящая n). Таким образом, искомое представление получено.

Задача 7:

Найдите все функции, заданные на всей вещественной оси, за исключением 0, которые удовлетворяют условию .

Задача 8:

Окружности O₁ и O₂ радиусов r₁ и r₂ (r₁ < r₂) соответственно пересекаются в точках A и B. Точка P лежит на окружности O₁. Прямые PA и PB пересекают окружность O₂ в точках Q и R соответственно. a) Выразите QR через r₁,r₂ и  θ  =  ∠ APB. b) Докажите, что окружности O₁ и O₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда QR = 2r₂.