Задача 1:

Докажите, что для любого натурального m существуют целые числа a и b такие, что

Задача 2:

Найдите все функции удовлетворяющие соотношениям 2f(m² + n²) = (f(m))² + (f(n))² для всех m,n и f(m²) ≤ f(n²) для всех m ≤ n.

Задача 3:

На стороне BC равностороннего треугольника со стороной 1 выбрали точку D. r₁ и r₂ – радиусы окружностей вписанных в треугольники ABD и ADC. Выразите r₁r₂ через BD и найдите максимальное значение r₁r₂.

Задача 4:

O – центр окружности описанной около треугольника ABC. Из произвольной точки плоскости P опустили перпендикуляры на прямые содержащие стороны треугольника – PA₁, PB₁, PC₁. Выразите отношение площадей треугольников ABC и A₁B₁C₁ через радиус описанной около ABC окружности и длину отрезка OP.

Задача 5:

p = (a,b) – простое число, притом p² делит a. Докажите, что многочлен x^n + 2 + ax^n + 1 + bxⁿ + a + b нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами, степени которых больше 1.

Задача 6:

Дверь закрыта на несколько замков. У каждого из m человек есть несколько ключей, притом, никакие n человек не могут открыть дверь, а любые n + 1 человек могут. Найдите наименьшее количество замков на которые закрыта дверь и определите количество ключей у каждого человека.