Задача 1:

Докажите, что для любых не равных 0 чисел a₁,a₂, … ,c₃ знаки * можно заменить на знаки  <  и  >  так, что система неравенств

не имеет решений.

Задача 2:

Решите уравнение в натуральных числах: x(x + 1) = y⁷.

Задача 3:

В пространстве отмечены 4 точки не лежащие в одной плоскости. Какое количество параллелепипедов с вершинами в этих точках можно построить?

Задача 4:

На сторонах AB, BC, CD, AD выпуклого четырехугольника ABCD взяли точки M, N, P, Q соответственно так, что AM = BN = CP = DQ. Оказалось, что MNPQ – квадрат. Докажите, что ABCD тоже квадрат.

Задача 5:

Клетки квадрата n × n покрашены в несколько цветов, притом раскраски любых двух столюцов различны. Докажите, что можно выбрать одну строчку так, что после ее вычеркивания раскраски любых двух столбцов останутся различными.