Задача 1:

Дано 10 натуральных чисел. Из 10 всевозможных сумм по 9 всего 9 различных: 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95. Найдите исходные числа.

Решение:

Пусть S – сумма всех этих чисел. Тогда, записанные суммы чисел по 9 – S – a₁, S – a₂,…,S – a₁₀. Будем считать, что первые девять из них различны, тогда их сумма равна 813. Заметим, что сумма всех сумм по 9 равна 9S, то есть делится на 9, следовательно, повторяющаяся сумма – 87 и сумма всех чисел – 100, тогда искомые числа: 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 13 и 14.

Задача 2:

Найдите наименьшее количество натуральных чисел сумма квадратов которых равна 1995.

Задача 3:

В арифметическом треугольнике с основанием 9 расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы начиная со второй строчки каждое число было бы равно разности двух чисел стоящих над ним. Всегда ли возможно так расставить числа от 1 до n в треугольнике с основанием n?

Задача 4:

Найдите все функции такие, что f(f(m) + f(n)) = m + n для всех натуральных m и n.

Задача 5:

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b диагонали пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольника ABO и трапеции.

Задача 6:

Рассмотрим пары вещественных чисел (x,y), удовлетворяющие неравенствам

M – наибольшее значение, которое может принимать x. a) Докажите, что M ≤ 3. b) Докажите, что M ≤ 2. c) Найдите M.

Задача 7:

Число n называется честолюбивым, если после приписывания его к любому натуральному числу справа получается число, делящееся на n. a) Найдите первые 10 честолюбивых чисел. b) Найдите все честолюбивые числа.

Задача 8:

Сумма длин диагоналей трапеции площади 2 равна 4. Докажите, что диагонали перпендикулярны.

Задача 9:

По кругу выписано 100 чисел с суммой 100. Сумма любых 6 идущих подряд чисел не превосходит 6. Одно из записанных чисел – 6. Найдите остальные числа.

Задача 10:

Докажите, что в любой момент времени перемещая часовую и минутную стрелки в положения сииметричные относительно вертикальной прямой (соединяющей отметки 6 и 12) получается положение стрелок правильно показывающее какое-то время. Найдите все прямые, проходящие через центр циферблата обладающие таким свойством.