Задача 1:

x и y – два положительных числа. Покажите, что выражение может быть записано в виде

и сравните числа

и

Задача 2:

Каждая точка плоскости покрашена в один из трех цветов. Верно ли, что тогда обязательно существуют две точки одного цвета на расстоянии 1 сантиметр?

Задача 3:

Целой частью числа a назовем максимальное целое число не превосходящее a. Докажите, что целая часть числа , где n некоторое целое число, всегда нечетное число.

Задача 4:

Докажите, что сумма

при a ≥ ¾ не зависит от значения a и найдите эту сумму.

Задача 5:

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, площадь которого равна S, взяли три точки A′, B′ и C′, таким образом, что , где 0 < p < 1. Найдите:

1) площадь треугольника A′B′C′ как функцию от p;

2) значение p, при котором эта площадь минимальна;

3) геометрическое место точек пересечения прямых A′X и C′Y, проведенных параллельно AB и AC соответственно, при различных p из интервала (0,\,1).

Задача 6:

На плоскости дано n точек все попарные расстояния между которыми различны. Каждую точку соединили отрезком с ближайшей к ней. Докажите, что ни одна из точек не соединена с более чем 5 другими.