Задача 1:

Докажите, что если бесконечная целочисленная арифметическа прогрессия содержит квадрат целого числа, то она содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

Задача 2:

В пространстве зафиксирована система координат Oxyz. На оси z взяли точку C такую, что OC = c. На осях x и y берут соответственно точки P и Q так, что OP + OQ = k, где k – некоторое число. Для любой такой пары точек P и Q четыре точки O, C, P и Q лежат на некоторой сфере, центр которой обозначим W. Найдите геометрическое место проекций точки W на плоскость Oxy. Найдите также геометрическое место точек W.

Задача 3:

Туристическое бюро хочет провести исследование о количестве солнечных и дождливых дней в году. Была собрана информация по шести районам и занесена в следующую таблицу:

Ответственный за сбор информации имеет более подробные данные чем в этой таблице и он заметил, что если исключить данные по одному из районов, то количество наблюдавшихся дождливых дней будет равно третьей части количества солнечных дней. Что это за район?

Задача 4:

В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен 2/5 прямого угла, а углы B и C равны. Бисектрисса угла C пересекает противоположную сторону в точке D. Сосчитайте углы в треугольнике BCD. Выразите длину BC через длину AB без использования тригонометрических функций.

Задача 5:

Некоторые клетки белого прямоугольника 3 × 7 произвольным образом покрасили в черный цвет. Докажите, что всегда найдутся четыре клетки одного цвета являющиеся вершинами некоторого прямоугольника.

Задача 6:

Выпуклый n-угольник разбит на m треугольников таким образом, что сторона каждого треугольника разбиения является либо стороной другого треугольника, либо стороной исходного многоугольника. Докажите, что m + n четно. Сосчитайте количество различных сторон и вершин разбиения внутри многоугольника если m и n известны.