Задача 1:

Решите уравнение в вещественных числах: где если x = 0,  + 1 при x > 0 и  – 1 при x < 0.

Задача 2:

n ≥ 3 – натуральное число. Решите систему уравнений

Задача 3:

У шестиугольника ABCDEF есть центр симметрии. Прямые AB и EF пересекаются в точке A′, BC и AF – в точке B′, AB и CD – в точке C′. Докажите, что AB • BC • CD = AA′ • BB′ • CC′.

Задача 4:

Найдите все функции f определенные на вещественной оси такие, что f(x + y) – f(x – y) = f(x)f(y) для всех вещественных x и y.

Задача 5:

На границе полуплоскости взяли две точки A и C. Для каждой точки полуплоскости B рассмотрим квадраты ABKL и BCMN, построенные внешним образом к треугольнику ABC. Докажите, что все прямые LM при различных точках B имеют общую точку.

Задача 6:

Дана последовательность x_n:

Найдите

Задача 7:

Четыре точки пространства заданы своими координатами: A₀ = (0,0,0); A₁ = (1,0,0); A₂ = (0,1,0) и A₃ = (0,0,1). Точки P_ij определяются из условий . Найдите объем наименьшего выпуклого многогранника, содержащего все точки P_ij.

Задача 8:

n ≥ 2 – натуральное число. Определите максимальное значение суммы натуральных чисел k₁,k₂, … ,k_n, которые удовлетворяют неравенству

Задача 9:

Докажите, что для всех вещественных a,b,c (a² + b² – c²)(b² + c² – a²)(c² + a² – b²) ≤ (a + b – c)²(b + c – a)²(c + a – b)².

Задача 10:

 – куб и сюръективное отображение () такое, что для любых точек куба P и Q |PQ| ≥ |f(P)f(Q)|.

Докажите, что отображение f является изометрией (то есть для любых P и Q из куба |PQ| = |f(P)f(Q)|).

Задача 11:

На доску n × n ставят шесть пешек. Пусть p_n обозначает вероятность того, что в каком-то столбце или в какой-то строке стоят 2 пешки. Найдите .

Задача 12:

Докажите, что многочлен xⁿ + 4 разлагается на два множителя с целыми коэффициентами оба из которых имеют степень меньше чем n тогда и только тогда, когда n делится на 4.