Задача 1:

Найдите все пары натуральных чисел (x,y) такие, что числа и также натуральные.

Задача 2:

n – натуральное число больше 1. Решите систему уравнений:

Задача 3:

Четырехугольник со сторонами a,b,c и d вписан в окружность радиуса R. Докажите, что если a² + b² + c² + d² = 8R², то либо один из углов четырехугольника прямой, либо его диагонали перпендикулярны.

Задача 4:

В некоторой школе 64 ученика приняли участие в 5 олимпиадах, в каждой из которых их приняло участие не менее 19. Никто из школьников не участвовал более чем в трех олимпиадах. Для любых трех олимпиад был по крайней мере один их общий участник. Докажите, что какие-то пять школьников приняли участие в двух олимпиадах.

Задача 5:

Даны положительные числа a и b. Докажите, что следующие два утверждения эквивалентны:

(1) ;

(2) Для любого .

Задача 6:

Внутри треугольника ABC выбрали точку P. Лучи AP, BP и CP пересекают стороны треугольника в точках A′, B′ и C′ соответственно. Положим

Выразите uvw через u + v + w.

Задача 7:

(a) Существует ли такая дифференцируемая функция, не обращающаяся в 0 на всей вещественной оси и для любого x удовлетворяющая условию 2f(f(x)) = f(x) ≥ 0?(b) Существует ли такая дифференцируемая функция, не обращающаяся в 0 на всей вещественной оси и для любого x удовлетворяющая условию  – 1 ≤ 2f(f(x)) = f(x) ≤ 1?

Задача 8:

Двугранный угол между боковой стороной правильной n-гранной пирамиды (все боковые ребра равны между собой, а основание – правильный n-угольник) и ее основанием равен  α , угол между основанием и боковым ребром –  β . Докажите, что

Задача 9:

a и b – два положительных числа с суммой 1. a³ и b³ – рациональные числа. Докажите, что a и b тоже рациональные.

Задача 10:

На прямой k взяли три точки и из каждой провели по два луча в одну полуплоскость относительно k, притом любые два луча пересекаются. Пара лучей с общей вершиной пересекаясь с другой парой лучей образуют выпуклый четырехугольник, таким образом получается три четырехугольника. Докажите, что если в два из них можно вписать окружность, то можно вписать окружность и в третий.

Задача 11:

Из множества 1,2, … ,n выбирают m чисел (n > m > 1). Найдите ожидаемое значение разности между максимальным вытащенным числом и минимальным.

Задача 12:

Дана последовательность x_n: x₁ = ½, при n > 1. Докажите, что для любого n x₁ + x₂ +  • s + x_n < 1.