Задача 1:

Найдите все натуральные n, такие, что уравнение 2 sin nx =  tg x +  ctg x имеет вещественный корень.

Задача 2:

Число называется палиндромом если его десятичная запись одинаково читается как слева направо, так и справа налево. Пусть x_n – последовательность всех палиндромов в порядке возрастания. Найдите все простые числа, которые делят по крайней мере одну разность x_k + 1 – x_k.

Решение:

Для не делящегося на 10 числа A через A′ обозначим число, получающееся «переворачиванием» A (таким образом A – палиндром, если A = A′). Тогда любой палиндром имеет вид , либо (a – цифра). Если a ≠ 9, то следующий палиндром имеет вид , либо , где b = a + 1. В таком случае разность соседних палиндромов имеет вид 110 … 0, либо 100 … 0 соответственно. Если a = 9, то следующий палиндром имеет вид (), где B = A + 1. Опять же разность равна 110 … 0, следовательно, простые числа делящие разность соседних палиндромов – 2, 5 или 11.

Задача 3:

В группе из kn человек у каждого не менее (k – 1)n знакомых. Докажите, что можно выбрать k + 1 человека так, что все они будут попарно между собой знакомы.

Задача 4:

Касательная к окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC, пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Докажите, что AD/DB + AE/EC = 1.

Задача 5:

В треугольнике ABC угол A – тупой. PQ – отрезок, серединой которого является точка A. Докажите, что

Задача 6:

Даны две последовательности натуральных чисел: геометрическая прогрессия со знаменателем q > 1 и арифметическая прогрессия с разностью r > 0, где q и r взаимно простые целые числа. Докажите, что если хотя бы одно число принадлежит обеим прогрессиям, то таких чисел бесконечно много.

Задача 7:

Неотрицательные числа a, b, c, p, q, r удовлетворяют следующим условиям: . Докажите, что 8abc ≤ pa + qb + rc и определите когда достигается равенство.

Задача 8:

Луч света выходит из центра квадрата и отражается от его сторон в соответствии с законом угол падения луча равен углу отражения. Через некоторое время луч вернулся в центр квадрата, при этом он ни разу не побывал ни в вершинах ни в его центре. Докажите, что количество отражений луча от стенок нечетно.

Задача 9:

Остаток от деления многочлена f с целыми коэффициентами на квадратный трехчлен x² – 12x + 11 равен 990x – 889. Докажите, что у f нет целых корней.

Задача 10:

Докажите, что уравнение x^x = y³ + z³ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Задача 11:

В соревнованиях по прыжкам с трамплина участвовало 65 человек. Каждый спортсмен прыгает только один раз. Допустим, что все результаты прыжков различны. В каждый момент соревнования лидером назовем человека, чей результат наиболее высокий на данный момент. Через p обозначим вероятность того, что за все соревнование лидер сменится всего один раз. Докажите, что если порядок прыжков определен случайным образом, то p > 1/16.

Задача 12:

Существуют ли два таких равных куба, центры которых совпадают и каждая сторона одного куба имеет общую точку с каждой стороной второго?