Задача 1:

Докажите, что существует бесконечно много составных чисел вида 50ⁿ + (50n + 1)⁵⁰.

Задача 2:

a,b,c,d – вещественные числа. Докажите, что (a + b + c + d)² ≤ 3(a² + b² + c² + d²) + 6ab.

Задача 3:

ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник (угол A – прямой). Точка D делит отрезок BC в отнощении 1:2, E – проекция точки B на прямую AD. Найдите угол CED.

Задача 4:

x и y – вещественные числа, притом x + y, x² + y², x³ + y³ и x⁴ + y⁴ – целые. Докажите, что при всех n число xⁿ + yⁿ – целое.

Задача 5:

Решите уравнение y^x = x⁵0 в натуральных числах.

Задача 6:

P – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, M – середина стороны AB. Прямая MP пересекает сторону CD в точке Q. Докажите, что отношение площадей треугольников BCP и ADP равно отношению длин отрезков CQ и DQ.

Задача 7:

Найдите все многочлены a₀ + a₁x +  …  + a_nxⁿ, которые имеют ровно n корней не превосходящих  – 1, коэффициенты которых удовлетворяют равенству .

Задача 8:

Множество S содержит n элементов. Найдите наименьшее количество подмножеств которые можно выбрать из S так, чтобы для любых двух элементов a и b нашлось бы выбранное множество, содержащее ровно один из них.

Задача 9:

На сторонах BC,CA,AB треугольника ABC взяли точки D,E и F соответственно.Окружности, вписанные в треугольники AEF,BFD и CDE касаются окружности, вписанной в треугольник DEF. Докажите, что прямые AD,BE и CF пересекаются в одной точке.

Задача 10:

x₁ – положительное вещественное число. Последовательность x_n удовлетворяет рекуррентному соотношению

Докажите, что существует предел и найдите его.

Задача 11:

В урне лежит два шара – черный и белый. Из урны, случайным образом вытаскивают шар, и кладут его обратно, добавляя в урну еще один шар того же цвета. Такую операцию повторили 50 раз. Какое наиболее вероятное количество белых шаров лежит в урне?

Задача 12:

Вершины куба со стороной a лежат на поверхности правильного тетраэдра со стороной 1. Найдите все возможные значения a.